最近，许多读者对自由落体运动的公式有疑问。有网友整理了相关内容，希望能回答你的疑惑。关于自由落体运动的公式，秋红号（www.psychoses.cn）我们也为你找到了问题的答案。让我们花一分钟看看，希望对你有所帮助。

■赵财昌

摘要：自由落体是一种简单的匀速直线运动，通过对自由落体最后n秒问题的研究，帮助学生更好地理解和运用自由落体的规律，培养学生的科学思维.

关键词:自由落体运动；高中物理；多解题；

分析两个例题

自由落体运动是一种速度为零的均匀加速直线运动，加速度为重力加速度g，其基本运动规律如下：

自由落体运动公式

图一

在学习自由落体运动的过程中，经常会遇到最后一个在求解物体着陆前s最后2s位移，最后ns位移问题，或者知道最后1s最后2s位移，最后ns的位移，解决其他运动学量.以下通过两道例题对此类问题深入研究,供大家学习参考.

例1

一块小石头离地125m如果空气阻力被忽视，请在着陆前最后1块小石头自由落下s内的位移.(g取10m/s2)

解法1(错解):已知小石头的运动时间为1s,落地前最后一个s内位移为：

错误答案

解法二：由公式组成②可得的石头下落时间为：

石头下落时间

前四秒下降的高度为h'

因此，小石头在着陆前是最后1个s内位移为：

Δh=h-h'=45 m

解法3:由v2=2gh小石落地速度如下：

落地速度如下：v=50m/s

落地前最后一块小石头s初的速度为:

v?=v-gt=(50-10×1)m/s=40m/s

因此，小石头在着陆前是最后1个s内位移为：

解决方案4：首先要求小石头下落总时间，然后根据初始速度为零的均匀加速直线运动，在相邻的连续相等时间内找到位移比公式=v-gt=(50-10×1)m/s=40m/s

因此，小石头在着陆前是最后1个s内位移为：

解决方案4：首先要求小石头下落总时间，然后根据初始速度为零的均匀加速直线运动，在相邻的连续相等时间内要求位移比公式1，其公式为x?:x?:x?:···:x?=1:3:5:···:(2n -1).

小石下落总时间为：

先找出小石头下落的总时间5秒

找出第一秒下落的位移

落地前最后1块小石头s内位移为第五s内下落的位移h?，则有:

点评:错误的原因是不了解自由落体运动的规律。对于自由落体运动的中间部分，初始速度不为零，因此自由落体运动的规律不能直接应用。解法4采用了匀变速直线运动的推论。由于自由落体运动是初始速度为零的匀加速直线运动，因此适用于匀变速直线运动的推论。

例2

有传言说牛顿坐在苹果树下，苹果落在了他的头上。他突然得到灵感，总结了引力定律。科学家对现象的观察和思考值得学习。如图所示，苹果树干部分高1.4m,由于干扰，苹果从树冠顶部自由下落，测量苹果通过树干的时间为0.2s，重力加速度g=10m/s2.苹果下落过程中的阻力不计，请求树冠高度。

分析:已知苹果树干的高度和苹果经过树干的时间，其实就是知道苹果落地前的最后0.2s内的位移为1.4 m，与例题1相反。

解决方案1：树冠高度为h，由公式②可知:

自由落体运动公式

苹果落地时间

联立 ①②③，代人数据解：h=1.8 m

解决方案2：苹果通过树冠的时间是t，着陆时间为t 0.2

由公式②可知:

树冠和树干的高度

h?=0.5g(t 0.2)2 ①

树冠的高度

h?=0.5g(t 0.2)2 ①

树冠的高度

h?=0.5gt2 ②

由题意知:

h?-h?=1.4 m ③

联立 ①②③,代入数据解：

t=0.6s

所以树冠的高度是

h?=0.5gt2=

h?=1.8m

解决方案3：设置苹果通过树冠末端的速度v?，根据运动学公式，苹果通过树干

均匀变速直线运动一段时间内的平均速度等于这段时间的中间速度，即苹果通过树干的中间速度v=7m/s，通过树冠设置苹果的时间是t，苹果到达树干中间的时间是t 0.1

由v=g(t 0.1)

代入数据解：t=0.6s

所以树冠的高度是

h=0.5gt2=0.5x10x0.62m=1.8 m

解法6：初速为零的匀加速运动，T内位移比为：

x?:x?:x?:x?:···:x?=1:3:5:···:(2n-1)

取T=0.2s，苹果在第一T时间的位移是：

h=0.5gT2=0.5×10×0.22m=0.2 m

第n个苹果T时间内的位移h?=1.4m，则

h?:h?=0.2:1.4=1:(2n-1)

解得n=4

所以苹果通过树冠的时间t=0.6s

树冠的高度为

h=0.5gt2=0.5×10×0.62m=1.8 m

点评:题目设置了一个新的物理场景，但本质是自由落体运动最后n秒的问题.解法1直接，但操作量大，计算能力要求高；解决方案2、3、4不直接设置高度，而是间接设置时间和速度，减少计算量，属于基本方法；解决方案5、6采用均匀变速直线运动的推论，大大降低了计算量.

练习:一个小球从某个高度自由落下，空气阻力不计，g取10m/s2。如果小球落地前的最后1s下降高度是整个下降高度的9/25(25分之9)，小球刚下降时的高度是多少？

(参考答案:125m)

比例1和例2，我们发现已知条件和未知条件之间的交换是两个相互逆转的过程，但本质是相同的，都属于解决自由落体运动最后n秒的问题.解决这类问题的常用方法有两种：一种是差值法，即用总位移减去最后n秒前的位移求解或建立等式；二是初速法，即假设最后n秒之初的速度,用位移公式求解.这类问题有很多解决方案。平时要注意多解题，举一反三，熟练掌握运动规律及其联系，培养学生的发散思维和创新思维.

参考文献:

[1]王贇.如何解决自由落体运动下降的高度

[J].2017年湖南中学物理，32(09):97,78.

[山东省青岛市即墨区美术学校(266200)文章来源:

2021年第7期数学化学习(高中版)

作者简介1979-)，男，湖北襄阳人，本科，讲师，主要从事高中物理教学研究。

伽利略的荣耀时刻

1581年，17岁的伽利略作为一名医学生进入比萨大学，开始了他的大学生涯。

伽利略的荣耀时刻

1581年，17岁的伽利略作为一名医学生进入比萨大学，开始了他的大学生涯。

……

在老师眼里，伽利略集逃课、善辩、耍聪明刁难教授于一体，无疑是典型的坏学生。历史上到处都有一种奇妙的辩证法：好学生在旧秩序中脱颖而出，坏学生应该建立一个新的秩序来脱颖而出，新的秩序教导一群新的好学生，等待新秩序下的坏学生埋葬自己。批量生产的好学生最多可以承担书写或抄袭历史的任务，而不世的坏学生是历史的先驱和向导。

归谬法

……相互矛盾的陈述不能同时真实，相互反对的命题也是如此……

——亚里士多德《形而上学》

伽利略在神学院(大学)接受了系统的中世纪经院教育，就像哥白尼、第谷、开普勒甚至阿奎那、布鲁诺一样，主要内容是追溯到毕达哥拉斯和柏拉图的自由七艺，包括三门(语法、修辞、逻辑)和四门(算术、几何、音律、天文)。天主教旗下的七艺术继承了古希腊哲学家和古罗马法学家的思维模式，这在亚里士多德、阿奎那和伽利略之间形成了一个秘密的联系。

……从静止开始的均匀加速直线运动——自然加速运动，物体开始下落计时后某一时刻的速度与时间成正比(任何相等时间间隔内速度的增量相等)，比例系数定义为加速度这一结论的证明延续了古希腊的几何传统，本质上奠定了几何和微积分手段的原型。这一结论的证明延续了古希腊的几何传统，本质上奠定了几何和微积分手段的原型。

这种几何描述的一个自然结论是，从静止开始的均匀加速直线运动与时间的平方成正比，从出发点到任何位置的距离——如果这种均匀加速运动是自由落体，那么这就是所谓的自由落体定律。还有一个经验世界可以检验的推论:从静止开始，任何相邻时间间隔内的运动距离比为1:3:5:7:9……碰巧形成了一个奇数列——这是毕达哥拉斯式的发现。

……

伽利略以真正意义上的比萨斜塔——带槽的木质斜面出现……

取大约12肘①长、半肘宽、三指厚的木模板或剩余材料，在上面挖一个略宽的槽，使其非常直、光滑、光滑，尽可能平整光滑，我们的槽释放出一个坚硬、光滑、非常圆的铜球。将木板倾斜放置，使一端比另一端高约一到两个肘部，我们释放铜球，介绍的滚动时间。将木板倾斜放置，使一端比另一端高约一到两个肘部。我们将释放铜球，并用稍后介绍的方法测量滚动时间。我们不止一次重复实验，以达到两次观测误差不超过1/10次的脉搏。在完成操作并确认其可靠性后，我们现在只释放铜球并测量槽长的四分之一的滚动时间，我们发现它只是前者的一半。接下来，我们尝试将铜球的全长时间与1/2、2/3、3/4或任何分数长度的时间进行比较；在这些重复了数百次的实验中，我们总是发现，通过距离比等于时间平方比，这一规律建立了释放铜球槽所在任何坡度的坡度。我们还观察到了各种斜坡滚动时间之间的精确比，然后我们将看到作者已经预测并证明了它。

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①1肘约合45.7－55.9厘米。

为了测量时间，我们在较高处放置一个大的盛水容器；在容器底部焊接一根可以射出细小水流的小孔径管，无论铜球从槽的全长或部分长度处滚下，每次铜球滚下时，水都收集在一个小玻璃杯里；每次铜球滚下时，收集的水被称为一个非常准确的平衡；这些重量的差异和比例为我们提供了每次时间的差异和比例，即使重复操作多次，结果也没有明显的差异。

——两门新科学的对话和数学证明·第三天》

……

哲学（换句话说，自然哲学）写在一本伟大的书上——我指的是宇宙。这本伟大的书不断拓宽我们的视野，但除非一个人首先学会理解写它的语言和字符，否则我们无法理解它。它的语言是数学，它的字符是三角形、圆形和其他几何图形。写它的语言是数学，它的字符是三角形、圆形和其他几何图形。没有数学，人力无法解释任何单词；没有数学，人们会在黑暗的迷宫里徘徊。

——伽利略《试金者》

本节摘自：

从苏格拉底到爱因斯坦，李到爱因斯坦》中，李轻舟

伟大的实验：曹则贤评论伽利略斜面实验

撰文 | 曹则贤(中国科学院物理研究所)

天不生仲尼，万古如长夜。

——[宋]唐庾摘要 伽利略
是近代科学的奠基人、近代物理的奠基人，被誉为神眷顾的数学家、托斯卡纳的阿基米德、艺术与科学的真正鉴赏者、天才的手艺人、学术自由的烈士。伽利略将有效定量化带入了物理学，用天体观测结果否定了地心说，制作了测温仪，发现了惯性定律、单摆周期公式、落体公式，以及被追认为伽利略相对论的关于运动的认识。伽利略留下了大量思想充盈、文笔优美的著作，那是物理学的启蒙典籍。

伽利略

1

伽利略小传

如果不是为生活所迫，谁肯把自己弄得满身才华？我以为这句话就是个玩笑，没想到世界上还真有这样的人。意大利历史上就曾有过这么样的一个人，他被誉为divine mathematician（神眷顾的数学家），Tuscan Archimedes（托斯卡纳的阿基米德），true connoisseur of arts and science（真正的科学与艺术鉴赏家），是第一个把有效定量化（effective quantification）引入物理学从而让物理学不再如从前那样仅仅是定性描述（qualitative description）的人，是亚里士多德学说的对头、哥白尼学说的捍卫者、数学的标准制定者、耶稣会士痛恨的人、学术自由的烈士（the sworn enemy of Aristotle, the champion of Copernicus, the standard-bearer of mathematics, the bête noire of the Jesuits, or the best-known of all martyrs to academic freedom）。这些可不是什么才华不才华的事儿，事关对人类的启蒙。这个人就是伽利略（图1）。伽利略是个全面型的天才人物，但也是在艰难困苦中取得那些辉煌成就的。有评论称，若不是为了混口饭吃，伽利略可能不会成为这其中的任何一个角色（Galileo would have become none of these things had he not to work for a living）。

……

那么，如何对落体运动加以定量地研究呢？我们知道，从20米的高处落下的物体，到达地面的时间大约为2秒，在伽利略时代，没有钟表、没有高速摄影，这可如何研究？伽利略发现，在斜坡上滚下的小球，如果斜坡的仰角足够小，下落时间就足够长，长到能进行有意义测量的程度。约在1604年，伽利略将一个木制斜坡的仰角做到小至17°（图5）。伽利略在斜坡上装上位置可调的铃铛，金属小球滚过铃铛时，会让铃铛发出响声宣告小球的经过。伽利略调节铃铛的位置，使得听到的铃铛声有（近似）相等的间隔，测量铃铛之间的间距（对于第一个铃铛，则是其到小球开始下落处的距离，开始下落处一般选为斜坡的顶端），发现间距之比约为 1：3：5：7……（此处没有精确测量。精确测量加计算机模拟，能将简单的规律都弄丢了。物理学是用头脑建立起来的）。这意思是说，随着时间单位的增加注释[1]，小球滚过的距离为12：22：32：42……于是得落体定律。此部分内容见于伽利略的《关于两种新科学的对话》。等到有了微积分，我们知道落体公式为h=?at2。对于自由落体，h=?gt2，g是重力加速度。注意，这里又是y=kx2类型的关系。实际上，法国中世纪学者奥雷斯姆 （Nicole Oresme，1320~1325？-1382）此前曾得到过匀加速运动的距离-时间平方律。伽利略的斜面注释:以上内容摘编自曹则贤著《磅礴为一》第一章，内容有删减。在他的另一篇文章里，对伽利略斜面实验这样点评过:实验是一门需要天才的艺术。如何做实验的一个伟大典型范例，我可以举伽利略是如何得到落体定律h=at2的为例。想象一下伽利略那时一没有计时器（挂钟还在等他的原理性发明呢），二是在他能获得的条件下落体时间不过两秒左右，他都没法得到不同时刻落体的位置。伽利略该怎么办？向政府申请大笔经费？关键是钱不能解决思想贫乏的问题啊。伽利略首先想到用斜坡也能得到下落过程的规律——自由下落就是在90°斜坡上的滚动（我做了30年实验都没曾有过一个这样天才的想法）。斜坡可以延长下落时间，使得记录位置成为可能。他把斜坡的坡度降到了17°。其次，他在斜坡上安放一些位置可调的小铃铛，小球滚过碰响铃铛，而这铃铛响的间隔可以用来标志时间(图3)。伽利略用自己的脉搏和哼唱的曲调来计时（粗略地计时。没思想的精确数据有啥用！），调整铃铛位置，使得他用脉搏和哼唱标记的小球滚过两个铃铛之间距离的用时大概是相等的。这样，相邻铃铛之间的距离是小球在下落不同时期在同样长度的时间间隔内滚过的。测量铃铛之间的距离，发现它们之间的间距之比近似地（很粗糙的近似。没思想的精确数据有啥用！！）为1:3:5:7:9……, 也就是说在n个时间单位内，小球下落过程中滚过的距离为n2个距离单位，因此落体定律应为h=at2，其中a是未知的比例系数。怎么样，这才叫实验。